`:top

Die `!Itō-Formel`! (auch `!Itō-`F33f`_`[Döblin`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Wolfgang_Döblin]`_`f-Formel`!; selten auch `!Lemma von Itō`!), benannt nach dem japanischen Mathematiker `F33f`_`[Itō Kiyoshi`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Itō_Kiyoshi]`_`f, ist eine zentrale Aussage in der `F33f`_`[stochastischen Analysis`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Stochastische_Analysis]`_`f. In seiner einfachsten Form ist es eine Integraldarstellung für `F33f`_`[stochastische Prozesse`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Stochastischer_Prozess]`_`f, die Funktionen eines `F33f`_`[Wiener-Prozesses`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Wiener-Prozess]`_`f sind. Es entspricht damit der Kettenregel bzw. Substitutionsregel der klassischen `F33f`_`[Differential-`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Differentialrechnung]`_`f und `F33f`_`[Integralrechnung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Integralrechnung]`_`f.

Itô publizierte 1951 einen Beweis.`:cite-ref-1[`F5bf`_`[1`#cite-note-1]`_`f]

>>Contents

• `F0af`_`[Version für Wiener-Prozesse`#version-f-r-wiener-prozesse]`_`f

• `F0af`_`[Version für Itō-Prozesse`#version-f-r-it-prozesse]`_`f

• `F0af`_`[Mehrdimensionale Version`#mehrdimensionale-version]`_`f

• `F0af`_`[Version für Semimartingale`#version-f-r-semimartingale]`_`f

• `F0af`_`[Bemerkung`#bemerkung]`_`f

• `F0af`_`[Für das Stratonowitsch-Integral`#f-r-das-stratonowitsch-integral]`_`f

• `F0af`_`[Version für Funktionen mit beschränkter quadratischer Variation`#version-f-r-funktionen-mit-beschr-nkter-quadratischer-variation]`_`f

• `F0af`_`[Beispiele`#beispiele]`_`f

• `F0af`_`[Unendlich-dimensionale Itō-Formeln`#unendlich-dimensionale-it-formeln]`_`f

• `F0af`_`[Siehe auch`#siehe-auch]`_`f

• `F0af`_`[Literatur`#literatur]`_`f

• `F0af`_`[Einzelnachweise`#einzelnachweise]`_`f

-─

>>Version für Wiener-Prozesse

Sei ( W t ) t ≥ ≥ 0 {\\displaystyle (W_{t})_{t\\geq 0}} ein (Standard-)Wiener-Prozess und h : : R → → R {\\displaystyle h\\colon \\mathbb {R} \\to \\mathbb {R} } eine zweimal `F33f`_`[stetig differenzierbare`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Differentialrechnung]`_`f Funktion. Dann gilt

h ( W t ) = h ( W 0 ) + ∫ ∫ 0 t h ′ ( W s ) d W s + 1 2 ∫ ∫ 0 t h ″ ( W s ) d s . {\\displaystyle h(W_{t})=h(W_{0})+\\int _{0}^{t}h'(W_{s})\\,{\\rm {d}}W_{s}+{\\frac {1}{2}}\\int _{0}^{t}h''(W_{s})\\,{\\rm {d}}s\\,.}

Dabei ist das erste Integral als `F33f`_`[Itō-Integral`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Itō-Integral]`_`f und das zweite Integral als ein gewöhnliches `F33f`_`[Riemann-Integral`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Riemann-Integral]`_`f (über die stetigen Pfade des Integranden) zu verstehen.

Für den durch Y t = h ( W t ) {\\displaystyle Y_{t}=h(W_{t})} für t ≥ ≥ 0 {\\displaystyle t\\geq 0} definierten Prozess lautet diese Darstellung in `F33f`_`[Differentialschreibweise`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Differential_(Mathematik)]`_`f

d Y t = h ′ ( W t ) d W t + 1 2 h ″ ( W t ) d t . {\\displaystyle {\\rm {d}}Y_{t}=h'(W_{t})\\,{\\rm {d}}W_{t}+{\\frac {1}{2}}h''(W_{t})\\,{\\rm {d}}t\\,.}

>>Version für Itō-Prozesse

Ein stochastischer Prozess ( X t ) t ≥ ≥ 0 {\\displaystyle (X_{t})_{t\\geq 0}} heißt `F33f`_`[Itō-Prozess`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Itō-Prozess]`_`f, falls

X t = X 0 + ∫ ∫ 0 t a s d s + ∫ ∫ 0 t b s d W s {\\displaystyle X_{t}=X_{0}+\\int _{0}^{t}a_{s}\\,{\\rm {d}}s+\\int _{0}^{t}b_{s}\\,{\\rm {d}}W_{s}}

für zwei stochastische Prozesse a s {\\displaystyle a_{s}} , b s {\\displaystyle b_{s}} gilt (genaueres dazu unter `F33f`_`[stochastische Integration`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Stochastische_Integration]`_`f). In Differentialschreibweise:

d X t = a t d t + b t d W t . {\\displaystyle {\\rm {d}}X_{t}=a_{t}\\,{\\rm {d}}t+b_{t}\\,{\\rm {d}}W_{t}\\,.}

Ist h : : R + × × R → → R {\\displaystyle h\\colon \\mathbb {R} _{+}\\times \\mathbb {R} \\to \\mathbb {R} } eine in der ersten Komponente einmal und in der zweiten zweimal stetig differenzierbare Funktion, so ist auch der durch Y t := h ( t , X t ) {\\displaystyle Y_{t}:=h(t,X_{t})} definierte Prozess ein Itō-Prozess, und es gilt`:cite-ref-2[`F5bf`_`[2`#cite-note-2]`_`f]

d Y t = ∂ ∂ h ∂ ∂ t ( t , X t ) d t + ∂ ∂ h ∂ ∂ x ( t , X t ) d X t + 1 2 ∂ ∂ 2 h ∂ ∂ x 2 ( t , X t ) ( d X t ) 2 = ( ∂ ∂ h ∂ ∂ x ( t , X t ) a t + ∂ ∂ h ∂ ∂ t ( t , X t ) + 1 2 ∂ ∂ 2 h ∂ ∂ x 2 ( t , X t ) b t 2 ) d t + ∂ ∂ h ∂ ∂ x ( t , X t ) b t d W t . {\\displaystyle {\\begin{aligned}{\\rm {d}}Y_{t}&={\\frac {\\partial h}{\\partial t}}(t,X_{t})\\,{\\rm {d}}t+{\\frac {\\partial h}{\\partial x}}(t,X_{t})\\,{\\rm {d}}X_{t}+{\\frac {1}{2}}{\\frac {\\partial ^{2}h}{\\partial x^{2}}}(t,X_{t})({\\rm {d}}X_{t})^{2}\\\\&=\\left({\\frac {\\partial h}{\\partial x}}(t,X_{t})\\,a_{t}+{\\frac {\\partial h}{\\partial t}}(t,X_{t})+{\\frac {1}{2}}{\\frac {\\partial ^{2}h}{\\partial x^{2}}}(t,X_{t})\\,b_{t}^{2}\\right){\\rm {d}}t+{\\frac {\\partial h}{\\partial x}}(t,X_{t})\\,b_{t}\\,{\\rm {d}}W_{t}\\,.\\end{aligned}}}

Hierbei bezeichnen ∂ ∂ h ∂ ∂ t {\\displaystyle {\\tfrac {\\partial h}{\\partial t}}} und ∂ ∂ h ∂ ∂ x {\\displaystyle {\\tfrac {\\partial h}{\\partial x}}} die `F33f`_`[partiellen Ableitungen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Partielle_Ableitung]`_`f der Funktion h {\\displaystyle h} nach der ersten bzw. zweiten Variablen. Die zweite Darstellung folgt aus der ersten durch Einsetzen von ( d X t ) 2 = b t 2 d t {\\displaystyle ({\\rm {d}}X_{t})^{2}=b_{t}^{2}\\,{\\rm {d}}t} und Zusammenfassen der d t {\\displaystyle {\\rm {d}}t} - und d W t {\\displaystyle {\\rm {d}}W_{t}} -Terme.

>>>Mehrdimensionale Version

Die Formel lässt sich auf n {\\displaystyle n} Itō-Prozesse X = ( X 1 , … … , X n ) {\\displaystyle X=(X_{1},\\dots ,X_{n})} verallgemeinern. Sei h : [ 0 , ∞ ∞ ) × × R n {\\displaystyle h:[0,\\infty )\\times \\mathbb {R} ^{n}} in C 1 {\\displaystyle C^{1}} in der ersten und C 2 {\\displaystyle C^{2}} in den restlichen Variablen. Definiere Y ( t ) := h ( t , X ( t ) ) {\\displaystyle Y(t):=h(t,X(t))} dann gilt

d Y ( t ) = ∂ ∂ h ∂ ∂ t ( t , X ( t ) ) d t + ∑ ∑ i = 1 n ∂ ∂ h ∂ ∂ i ( t , X ( t ) ) d X i ( t ) + 1 2 ∑ ∑ i , j = 1 n ∂ ∂ 2 h ∂ ∂ i ∂ ∂ j ( t , X ( t ) ) d [ X i , X j ] ( t ) . {\\displaystyle {\\rm {d}}Y(t)={\\frac {\\partial h}{\\partial t}}(t,X(t))\\,{\\rm {d}}t+\\sum \\limits _{i=1}^{n}{\\frac {\\partial h}{\\partial i}}(t,X(t))\\,{\\rm {d}}X_{i}(t)+{\\frac {1}{2}}\\sum \\limits _{i,j=1}^{n}{\\frac {\\partial ^{2}h}{\\partial i\\partial j}}(t,X(t)){\\rm {d}}[X_{i},X_{j}](t).}

>>Version für Semimartingale

Sei ( X t ) t ≥ ≥ 0 = ( X t 1 , … … , X t d ) t ≥ ≥ 0 {\\displaystyle (X_{t})_{t\\geq 0}=(X_{t}^{1},\\dotsc ,X_{t}^{d})_{t\\geq 0}} ein R d {\\displaystyle \\mathbb {R} ^{d}} -wertiges `F33f`_`[Semimartingal`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Semimartingal]`_`f und sei F ∈ ∈ C 2 ( R d , R ) {\\displaystyle F\\in C^{2}(\\mathbb {R} ^{d},\\mathbb {R} )} . Dann ist ( F ( X t ) ) t ≥ ≥ 0 {\\displaystyle (F(X_{t}))_{t\\geq 0}} wieder ein Semimartingal und es gilt

F ( X t ) − − F ( X 0 ) = ∑ ∑ j = 1 d ∫ ∫ 0 + t ∂ ∂ F ∂ ∂ x j ( X s − − ) d X s j + 1 2 ∑ ∑ j , k = 1 d ∫ ∫ 0 + t ∂ ∂ 2 F ∂ ∂ x j ∂ ∂ x k ( X s − − ) d [ X j , X k ] s c + ∑ ∑ 0 < s ≤ ≤ t ( F ( X s ) − − F ( X s − − ) − − ∑ ∑ j = 1 d ∂ ∂ F ∂ ∂ x j ( X s − − ) Δ Δ X s j ) . {\\displaystyle {\\begin{aligned}F(X_{t})-F(X_{0})=&\\sum _{j=1}^{d}\\int _{0+}^{t}{\\frac {\\partial F}{\\partial x^{j}}}(X_{s-}){\\rm {d}}X_{s}^{j}+{\\frac {1}{2}}\\sum _{j,k=1}^{d}\\int _{0+}^{t}{\\frac {\\partial ^{2}F}{\\partial x^{j}\\partial x^{k}}}(X_{s-}){\\rm {d}}[X^{j},X^{k}]_{s}^{c}\\\\&{}+\\sum _{0<s\\leq t}\\left(F(X_{s})-F(X_{s-})-\\sum _{j=1}^{d}{\\frac {\\partial F}{\\partial x^{j}}}(X_{s-})\\Delta X_{s}^{j}\\right).\\end{aligned}}}

Hierbei bedeutet:

• X s − − = lim u ↑ ↑ s X u {\\displaystyle \\textstyle X_{s-}=\\lim _{u\\uparrow s}X_{u}} der linksseitige Grenzwert,

• das Integrationsgebiet 1 [ 0 + , t ] {\\displaystyle 1_{[0+,t]}} bedeutet 1 ( 0 , t ] {\\displaystyle 1_{(0,t]}} . Ein Semimartingal kann bei X 0 {\\displaystyle X_{0}} einen Sprung haben, das heißt X 0 ≠ ≠ X 0 + {\\displaystyle X_{0}\\neq X_{0+}} und somit wird sichergestellt, dass nur über ( 0 , t ] {\\displaystyle (0,t]} integriert wird und der Anfangswert F ( X 0 ) {\\displaystyle F(X_{0})} wird deshalb nicht über das Integral gedeckt.

• Δ Δ X s j = X s j − − X s − − j {\\displaystyle \\Delta X_{s}^{j}=X_{s}^{j}-X_{s-}^{j}} der zugehörige `F33f`_`[Sprungprozess`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Sprungprozess]`_`f.

• Mit [ X j , X k ] c {\\displaystyle [X^{j},X^{k}]^{c}} wird die `F33f`_`[quadratische Kovariation`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Variation_(Mathematik)]`_`f der stetigen Anteile der Komponenten X j {\\displaystyle X^{j}} und X k {\\displaystyle X^{k}} bezeichnet.

Falls X {\\displaystyle X} ein stetiges Semimartingal ist, verschwindet die letzte große Klammer nach dem Plus und es gilt [ X j , X k ] c = [ X j , X k ] {\\displaystyle [X^{j},X^{k}]^{c}=[X^{j},X^{k}]} .

>>>Bemerkung

Schreibt man den Ausdruck [ X j , X k ] t c := [ X j , X k ] t − − ∑ ∑ s ≤ ≤ t Δ Δ X s j Δ Δ X s k {\\displaystyle [X^{j},X^{k}]_{t}^{c}:=[X^{j},X^{k}]_{t}-\\sum \\limits _{s\\leq t}\\Delta X_{s}^{j}\\Delta X_{s}^{k}} aus, so erhält man für eine Funktion f ∈ ∈ C 2 ( R d , R ) {\\displaystyle f\\in C^{2}(\\mathbb {R} ^{d},\\mathbb {R} )} die Form

f ( X t ) − − f ( X 0 ) = ∑ ∑ j = 1 d ∫ ∫ 0 + t ∂ ∂ f ∂ ∂ x j ( X s − − ) d X s j + 1 2 ∑ ∑ j , k = 1 d ∫ ∫ 0 + t ∂ ∂ 2 f ∂ ∂ x j ∂ ∂ x k ( X s − − ) d [ X j , X k ] s + ∑ ∑ 0 < s ≤ ≤ t ( Δ Δ f ( X s ) − − ∑ ∑ j = 1 d ∂ ∂ f ∂ ∂ x j ( X s − − ) Δ Δ X s j − − 1 2 ∑ ∑ k , j = 1 d ∂ ∂ 2 f ∂ ∂ x j ∂ ∂ x k ( X s − − ) Δ Δ X s j Δ Δ X s k ) . {\\displaystyle {\\begin{aligned}f(X_{t})-f(X_{0})=&\\sum _{j=1}^{d}\\int _{0+}^{t}{\\frac {\\partial f}{\\partial x^{j}}}(X_{s-}){\\rm {d}}X_{s}^{j}+{\\frac {1}{2}}\\sum _{j,k=1}^{d}\\int _{0+}^{t}{\\frac {\\partial ^{2}f}{\\partial x^{j}\\partial x^{k}}}(X_{s-}){\\rm {d}}[X^{j},X^{k}]_{s}\\\\&{}+\\sum _{0<s\\leq t}\\left(\\Delta f(X_{s})-\\sum _{j=1}^{d}{\\frac {\\partial f}{\\partial x^{j}}}(X_{s-})\\Delta X_{s}^{j}-{\\frac {1}{2}}\\sum _{k,j=1}^{d}{\\frac {\\partial ^{2}f}{\\partial x^{j}\\partial x^{k}}}(X_{s-})\\Delta X_{s}^{j}\\Delta X_{s}^{k}\\right).\\end{aligned}}}

wobei Δ Δ f ( X s ) := f ( X s ) − − f ( X s − − ) {\\displaystyle \\Delta f(X_{s}):=f(X_{s})-f(X_{s-})} .

>>>Für das Stratonowitsch-Integral

→

Hauptartikel

:

Stratonowitsch-Integral#Itō-Formeln

Sei X = ( X 1 , … … , X n ) {\\displaystyle X=(X^{1},\\dots ,X^{n})} ein R n {\\displaystyle \\mathbb {R} ^{n}} -Semimartingal und f ∈ ∈ C 2 ( R n , R ) {\\displaystyle f\\in C^{2}(\\mathbb {R} ^{n},\\mathbb {R} )} , dann ist f ( X ) {\\displaystyle f(X)} ein Semimartingal und es gilt`:cite-ref-3[`F5bf`_`[3`#cite-note-3]`_`f]

f ( X t ) − − f ( X 0 ) = ∑ ∑ i = 1 n ∫ ∫ 0 + t ∂ ∂ f ∂ ∂ x i ( X s − − ) ∘ ∘ d X s i + ∑ ∑ 0 < s ≤ ≤ t ( f ( X s ) − − f ( X s − − ) − − ∑ ∑ i = 1 n ∂ ∂ f ∂ ∂ x i ( X s − − ) Δ Δ X s i ) . {\\displaystyle f(X_{t})-f(X_{0})=\\sum \\limits _{i=1}^{n}\\int _{0+}^{t}{\\frac {\\partial f}{\\partial x_{i}}}(X_{s-})\\circ dX_{s}^{i}+\\sum \\limits _{0<s\\leq t}\\left(f(X_{s})-f(X_{s-})-\\sum \\limits _{i=1}^{n}{\\frac {\\partial f}{\\partial x_{i}}}(X_{s-})\\Delta X_{s}^{i}\\right).}

>>Version für Funktionen mit beschränkter quadratischer Variation

`F33f`_`[Hans Föllmer`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hans_Föllmer]`_`f erweiterte die Formel von Itō auf (deterministische) Funktionen mit beschränkter quadratischer Variation.`:cite-ref-4[`F5bf`_`[4`#cite-note-4]`_`f]

Sei f ∈ ∈ C 2 {\\displaystyle f\\in C^{2}} eine reell-wertige Funktion und x : [ 0 , ∞ ∞ [ → → R {\\displaystyle x:{[0,\\infty [}\\to \\mathbb {R} } eine `F33f`_`[Càdlàg-Funktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Càdlàg-Funktion]`_`f mit endlicher quadratischer Variation. Dann gilt

f ( x t ) = f ( x 0 ) + ∫ ∫ 0 t f ′ ( x s − − ) d x s + 1 2 ∫ ∫ ] 0 , t ] f ″ ( x s − − ) d [ x , x ] s + ∑ ∑ 0 ≤ ≤ s ≤ ≤ t ( f ( x s ) − − f ( x s − − ) − − f ′ ( x s − − ) Δ Δ x s − − 1 2 f ″ ( x s − − ) ( Δ Δ x s ) 2 ) ) . {\\displaystyle {\\begin{aligned}f(x_{t})&=f(x_{0})+\\int _{0}^{t}f'(x_{s-})\\mathrm {d} x_{s}+{\\frac {1}{2}}\\int _{]0,t]}f''(x_{s-})d[x,x]_{s}\\\\&+\\sum _{0\\leq s\\leq t}\\left(f(x_{s})-f(x_{s-})-f'(x_{s-})\\Delta x_{s}-{\\frac {1}{2}}f''(x_{s-})(\\Delta x_{s})^{2})\\right).\\end{aligned}}}

>>Beispiele

• Für Y t = sin ⁡ ⁡ ( W t ) {\\displaystyle Y_{t}=\\sin(W_{t})} gilt d Y t = cos ⁡ ⁡ ( W t ) d W t − − 1 2 sin ⁡ ⁡ ( W t ) d t {\\displaystyle {\\rm {d}}Y_{t}=\\cos(W_{t})\\,{\\rm {d}}W_{t}-{\\tfrac {1}{2}}\\sin(W_{t})\\,{\\rm {d}}t} .

• Mit Hilfe der Formel kann man einfach beweisen, dass die `F33f`_`[geometrische brownsche Bewegung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Geometrische_brownsche_Bewegung]`_`f

S t = S 0 e r t − − 1 2 σ σ 2 t + σ σ W t {\\displaystyle S_{t}=S_{0}e^{rt-{\\frac {1}{2}}\\sigma ^{2}t+\\sigma W_{t}}}

eine Lösung der `F33f`_`[stochastischen Differentialgleichung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Stochastische_Differentialgleichung]`_`f von `F33f`_`[Black und Scholes`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Black-Scholes-Modell]`_`f d S t = r S t d t + σ σ S t d W t {\\displaystyle {\\rm {d}}S_{t}=rS_{t}\\,{\\rm {d}}t+\\sigma S_{t}\\,{\\rm {d}}W_{t}}

ist.

Hierzu wählt man X t = W t {\\displaystyle X_{t}=W_{t}} , also a t = 0 , b t = 1 {\\displaystyle a_{t}=0,\\;b_{t}=1} .

Dann ergibt die Formel mit h ( t , x ) = S 0 e r t − − 1 2 σ σ 2 t + σ σ x {\\displaystyle h(t,x)=S_{0}e^{rt-{\\frac {1}{2}}\\sigma ^{2}t+\\sigma x}} : d S t = [ ( r − − σ σ 2 2 + σ σ 2 2 ) S 0 e r t − − 1 2 σ σ 2 t + σ σ W t ] d t + [ σ σ S 0 e r t − − 1 2 σ σ 2 t + σ σ W t ] d W t = r S t d t + σ σ S t d W t . {\\displaystyle {\\rm {d}}S_{t}=\\left[\\left(r-{\\frac {\\sigma ^{2}}{2}}+{\\frac {\\sigma ^{2}}{2}}\\right)S_{0}e^{rt-{\\frac {1}{2}}\\sigma ^{2}t+\\sigma W_{t}}\\right]{\\rm {d}}t+\\left[\\sigma S_{0}e^{rt-{\\frac {1}{2}}\\sigma ^{2}t+\\sigma W_{t}}\\right]{\\rm {d}}W_{t}=rS_{t}\\,{\\rm {d}}t+\\sigma S_{t}\\,{\\rm {d}}W_{t}\\,.}

• Ist ( W t ) t ≥ ≥ 0 {\\displaystyle (\\mathbf {W} _{t})_{t\\geq 0}} ein d {\\displaystyle d} -dimensionaler Wiener-Prozess und F : : R d → → R {\\displaystyle F\\colon \\mathbb {R} ^{d}\\to \\mathbb {R} } zweimal stetig differenzierbar, dann gilt für Y t = F ( W t ) {\\displaystyle Y_{t}=F(\\mathbf {W} _{t})}

d Y t = ∇ ∇ F ( W t ) T ⋅ ⋅ d W t + 1 2 Δ Δ F ( W t ) d t {\\displaystyle \\mathrm {d} Y_{t}=\\nabla F(\\mathbf {W} _{t})^{\\mathsf {T}}\\cdot \\mathrm {d} \\mathbf {W} _{t}+{\\frac {1}{2}}\\Delta F(\\mathbf {W} _{t})\\,\\mathrm {d} t} ,

wobei ∇ ∇ F {\\displaystyle \\nabla F} den `F33f`_`[Gradienten`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Gradient_(Mathematik)]`_`f und Δ Δ F {\\displaystyle \\Delta F} den `F33f`_`[Laplace-Operator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Laplace-Operator]`_`f von F {\\displaystyle F} bezeichnen.

>>Unendlich-dimensionale Itō-Formeln

Es gibt verschiedene Varianten von Itō-Formeln für unendlich-dimensionale Räume (z. B. Pardoux`:cite-ref-5[`F5bf`_`[5`#cite-note-5]`_`f], Gyöngy-Krylow`:cite-ref-6[`F5bf`_`[6`#cite-note-6]`_`f], Brzezniak-van Neerven-Veraar-Weis`:cite-ref-7[`F5bf`_`[7`#cite-note-7]`_`f]).

>>Siehe auch

• `F33f`_`[Euler-Maruyama-Verfahren`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Euler-Maruyama-Verfahren]`_`f

>>Literatur

• Philip E. Protter: `*Stochastic Integration and Differential Equations`* (2nd edition), Springer, 2004, ISBN 3-540-00313-4.

>>Einzelnachweise

`:cite-note-1`!1.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-1]`_`f Kiyoshi Itô: On a formula concerning stochastic differentials. In: Nagoya Math. J. Band 3, 1951, S. 55–65 (projecteuclid.org).

`:cite-note-2`!2.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-2]`_`f Hui-Hsiung Kuo: `*Introduction to Stochastic Integration.`* Springer, 2006, ISBN 978-0387-28720-1, S. 103 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

`:cite-note-3`!3.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-3]`_`f Philip E. Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. Hrsg.: Springer. 2004, ISBN 3-540-00313-4, S. 277–278.

`:cite-note-4`!4.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-4]`_`f Hans Föllmer: Calcul d'Ito sans probabilités. In: Séminaire de probabilités de Strasbourg. Band 15, 1981, S. 143–144 (numdam.org).

`:cite-note-5`!5.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-5]`_`f E. Pardoux, E: Équations aux dérivées partielles stochastiques de type monotone. In: Séminaire Jean Leray. Nr. 3, 1974 (numdam.org).

`:cite-note-6`!6.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-6]`_`f I. Gyöngy und N. V. Krylov: Ito formula in banach spaces. In: Springer, Berlin, Heidelberg (Hrsg.): Arató, M., Vermes, D., Balakrishnan, A.V. (eds) Stochastic Differential Systems. Band 36, 1981, `F33f`_`[doi`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Digital_Object_Identifier]`_`f:10.1007/BFb0006409.

`:cite-note-7`!7.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-7]`_`f Z. Brzezniak, J. M. A. M. van Neerven, M. C. Veraar und L. Weis: Ito's formula in UMD Banach spaces and regularity of solutions of the Zakai equation. 2008.

`c`F0af`_`[↑ Back to top`#top]`_`f`a